圆的公切线公式

April 07, 2009

给出两个不同的圆的圆心坐标、半径，求它们公切线的方程。

两个圆的方程

\[\begin{aligned} C_1: (x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 &= r_1^2 \\ C_2: (x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 &= r_2^2 \end{aligned}\]

定义两个参数

\[\begin{aligned} \Delta_+ &= (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 - (r_1 + r_2)^2 \\ \Delta_- &= (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 - (r_1 - r_2)^2 \\ p_1 &= r_1(x_2^2 + y_2^2 - x_1 x_2 - y_1 y_2) \\ p_2 &= r_2(x_1^2 + y_1^2 - x_1 x_2 - y_1 y_2) \\ q &= x_1 y_2 - x_2 y_1 \end{aligned}\]

公切线方程

\[\begin{aligned} l_{+1} &: [ (x_2 - x_1)(r_1 + r_2) + (y_1 - y_2)\sqrt{\Delta_+} ] x + \ [ (y_2 - y_1)(r_1 + r_2) + (x_2 - x_1)\sqrt{\Delta_+} ] y - \ p_1 + p_2 + q\sqrt{\Delta_+} \\ l_{+2} &: [ (x_2 - x_1)(r_1 + r_2) - (y_1 - y_2)\sqrt{\Delta_+} ] x + \ [ (y_2 - y_1)(r_1 + r_2) - (x_2 - x_1)\sqrt{\Delta_+} ] y - \ p_1 + p_2 - q\sqrt{\Delta_+} \\ l_{-1} &: [ (x_2 - x_1)(r_1 - r_2) + (y_1 - y_2)\sqrt{\Delta_-} ] x + \ [ (y_2 - y_1)(r_1 - r_2) + (x_2 - x_1)\sqrt{\Delta_-} ] y - \ p_1 - p_2 + q\sqrt{\Delta_-} \\ l_{-2} &: [ (x_2 - x_1)(r_1 - r_2) - (y_1 - y_2)\sqrt{\Delta_-} ] x + \ [ (y_2 - y_1)(r_1 - r_2) - (x_2 - x_1)\sqrt{\Delta_-} ] y - \ p_1 - p_2 - q\sqrt{\Delta_-} \end{aligned}\]

说明

不同圆的公切线 5 种情况：

  1. \(\Delta_+ < 0, \Delta_- < 0\)：内含，无公切线
  2. \(\Delta_+ < 0, \Delta_- = 0\)：内切，一条，是 \(l_{-1} = l_{-2}\)
  3. \(\Delta_+ < 0, \Delta_- > 0\)：相交，两条，是 \(l_{-1}, l_{-2}\)
  4. \(\Delta_+ = 0, \Delta_- > 0\)：外切，三条，是 \(l_{-1}, l_{-2}, l_{+1} = l_{+2}\)
  5. \(\Delta_+ > 0, \Delta_- > 0\)：外离，四条，是 \(l_{-1}, l_{-2}, l_{+1}, l_{+2}\)

顺便推出公切线交点公式：

内公切线交点:

\[x = \frac{r_1 x_2 + r_2 x_1}{r_1 + r_2}, y = \frac{r_1 y_2 + r_2 y_1}{r_1 + r_2}\]

外公切线交点:

\[x = \frac{r_1 x_2 - r_2 x_1}{r_1 - r_2}, y = \frac{r_1 y_2 - r_2 y_1}{r_1 - r_2}\]

这个测试过，但那么长的公式，不能保证打字不出错，用之前还是测试一下为妙~ 欢迎质疑！

求解过程吗？直接设 \(Ax + By + C = 0\) 的方法是不太可行的，提示一下：